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$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ を求める問題です。ただし、$n$ は非負整数（0を含む正の整数）です。

解析学定積分部分積分漸化式三角関数二重階乗
2025/6/3

1. 問題の内容

∫0π2sin⁡nx dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx を求める問題です。ただし、nn は非負整数（0を含む正の整数）です。

2. 解き方の手順

この定積分を求めるには、部分積分を利用して漸化式を導きます。
In=∫0π2sin⁡nx dxI_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx と定義します。
n≥2n \ge 2 のとき、
In=∫0π2sin⁡n−1xsin⁡x dxI_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \sin x \, dx
u=sin⁡n−1xu = \sin^{n-1} x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx とすると、
du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dxdu = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx, v=−cos⁡xv = -\cos x となります。
部分積分を行うと、
In=[−sin⁡n−1xcos⁡x]0π2+∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x dxI_n = \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1) \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx
第1項は0になるので、
In=(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dxI_n = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx
cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x を代入すると、
In=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x(1−sin⁡2x) dxI_n = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx
In=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x dx−(n−1)∫0π2sin⁡nx dxI_n = (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx
In=(n−1)In−2−(n−1)InI_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n
In+(n−1)In=(n−1)In−2I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}
nIn=(n−1)In−2n I_n = (n-1) I_{n-2}
In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}
次に、初期条件を求めます。
n=0n = 0 のとき、I0=∫0π2sin⁡0x dx=∫0π21 dx=[x]0π2=π2I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}
n=1n = 1 のとき、I1=∫0π2sin⁡x dx=[−cos⁡x]0π2=−cos⁡(π2)+cos⁡(0)=0+1=1I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1
したがって、
nn が偶数のとき、In=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯12⋅I0=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯12⋅π2I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{1}{2} \cdot I_0 = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
nn が奇数のとき、In=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯23⋅I1=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯23⋅1I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{2}{3} \cdot I_1 = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1

3. 最終的な答え

nn が偶数のとき、In=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯12⋅π2I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}
nn が奇数のとき、In=n−1n⋅n−3n−2⋅n−5n−4⋯23⋅1I_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \frac{n-5}{n-4} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1
または
$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \begin{cases}
\frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even} \\
\frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{if } n \text{ is odd}
\end{cases}$
ただし、n!!n!! は二重階乗を表します。

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