次の4つの三角関数の方程式または不等式を $-\pi < \theta \leq \pi$ の範囲で解く。 (1) $2\sin 2\theta - 1 = 0$ (2) $2\cos\theta - \sqrt{3} < 0$ (3) $-\sqrt{3} < \tan\theta \leq 1$ (4) $\cos 2\theta = 5\cos\theta - 3$

1. 問題の内容

次の4つの三角関数の方程式または不等式を $-\pi < \theta \leq \pi$ の範囲で解く。

(1) $2\sin 2\theta - 1 = 0$

(2) $2\cos\theta - \sqrt{3} < 0$

(3) $-\sqrt{3} < \tan\theta \leq 1$

(4) $\cos 2\theta = 5\cos\theta - 3$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin 2\theta - 1 = 0$ より、

$\sin 2\theta = \frac{1}{2}$

$-\pi < \theta \leq \pi$ なので、 $-2\pi < 2\theta \leq 2\pi$。

$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ または $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ ( $n$ は整数)。

$-2\pi < \frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq 2\pi$ より $-\frac{13}{12} < n \leq \frac{11}{12}$ なので、$n = -1, 0$。

$-2\pi < \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \leq 2\pi$ より $-\frac{17}{12} < n \leq \frac{7}{12}$ なので、$n = -1, 0$。

したがって、

$2\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}$

(2) $2\cos\theta - \sqrt{3} < 0$ より、

$\cos\theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\pi < \theta \leq \pi$ なので、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = \pm \frac{\pi}{6}$。

$\cos\theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は、$-\pi < \theta < -\frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{6} < \theta \leq \pi$

(3) $-\sqrt{3} < \tan\theta \leq 1$

$-\pi < \theta \leq \pi$ なので、$\tan\theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = -\frac{\pi}{3}$。

$\tan\theta = 1$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{4}$。

$-\sqrt{3} < \tan\theta \leq 1$ となる範囲は $-\frac{\pi}{3} < \theta \leq \frac{\pi}{4}$。ただし、$\theta = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ は $\tan\theta$ が定義されないので除く必要があるが、$-\frac{\pi}{3} < \theta \leq \frac{\pi}{4}$ の範囲には含まれていないので、考慮する必要はない。

(4) $\cos 2\theta = 5\cos\theta - 3$ より、

$2\cos^2\theta - 1 = 5\cos\theta - 3$

$2\cos^2\theta - 5\cos\theta + 2 = 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta - 2) = 0$

$\cos\theta = \frac{1}{2}, 2$

$\cos\theta = 2$ はありえないので、$\cos\theta = \frac{1}{2}$

$-\pi < \theta \leq \pi$ なので、$\theta = \pm \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}$

(2) $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} < \theta \leq \pi$

(3) $-\frac{\pi}{3} < \theta \leq \frac{\pi}{4}$

(4) $\theta = -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$