与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、次の和 $S$ を求めます。 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、次の和 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

2. 解き方の手順

恒等式を和 $S$ の各項に適用します。

$\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1} - \frac{1}{3})$

$\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

$\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$

$\dots$

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

これらをすべて足し合わせると、多くの項が打ち消し合います（望遠鏡和またはテレスコープ和）。

$S = \frac{1}{2} (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1})$

$S = \frac{1}{2} (\frac{2n+1-1}{2n+1})$

$S = \frac{1}{2} (\frac{2n}{2n+1})$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$