与えられた関数の $x$ が $-1$ に近づくときの極限値を求めます。 $$ \lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2} $$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が $-1$ に近づくときの極限値を求めます。

$$\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を因数分解します。

分子:

$2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$

分母:

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

したがって、関数は次のようになります。

$$\frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2} = \frac{(2x + 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)}$$

$x \neq -1$ のとき、$x + 1$ で約分できます。

$$\frac{(2x + 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2x + 1}{x + 2}$$

次に、極限を計算します。

$$\lim_{x \to -1} \frac{2x + 1}{x + 2} = \frac{2(-1) + 1}{(-1) + 2} = \frac{-2 + 1}{-1 + 2} = \frac{-1}{1} = -1$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 2} = -1$$