関数 $y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $y = r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$a$ と $b$ はそれぞれ $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の係数です。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\alpha$ を求めます。$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ を探します。

$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ または $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ となります。ここでは $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ を選びます。

したがって、$y = 2 \sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ となります。

$\sin$ 関数の最大値は $1$ で、最小値は $-1$ であるため、

最大値は $2 \times 1 = 2$

最小値は $2 \times (-1) = -2$

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：-2