$0 \le \theta < 2\pi$ において、関数 $f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(\theta)$ を $r\sin(2\theta - \alpha)$ の形に変形する。 (2) $f(\theta) = \sqrt{6}$ となる $\theta$ の値を求める。 (3) $f(\theta) < 0$ となる $\theta$ の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を導きます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ において、関数 $f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(\theta)$ を $r\sin(2\theta - \alpha)$ の形に変形する。

(2) $f(\theta) = \sqrt{6}$ となる $\theta$ の値を求める。

(3) $f(\theta) < 0$ となる $\theta$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta$ を合成します。

$f(\theta) = \sqrt{2^2 + (-2)^2} \sin(2\theta - \alpha) = \sqrt{8}\sin(2\theta - \alpha) = 2\sqrt{2}\sin(2\theta - \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 、$\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

よって、$f(\theta) = 2\sqrt{2}\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$

(2) $f(\theta) = \sqrt{6}$ のとき、$2\sqrt{2}\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{6}$ より、

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{15}{4}\pi$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $2\theta - \frac{\pi}{4}$ は、$\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{8\pi}{3}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}$ のとき、$2\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ より、$\theta = \frac{7\pi}{24}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$2\theta = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{12}$ より、$\theta = \frac{11\pi}{24}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{3}$ のとき、$2\theta = \frac{7\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{31\pi}{12}$ より、$\theta = \frac{31\pi}{24}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{3}$ のとき、$2\theta = \frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{35\pi}{12}$ より、$\theta = \frac{35\pi}{24}$

したがって、$\theta = \frac{7\pi}{24}$, $\frac{11\pi}{24}$, $\frac{31\pi}{24}$, $\frac{35\pi}{24}$

(3) $f(\theta) < 0$ より、$2\sqrt{2}\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) < 0$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) < 0$

$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{15}{4}\pi$ において、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) < 0$ となるのは、

$\pi < 2\theta - \frac{\pi}{4} < 2\pi$ または $3\pi < 2\theta - \frac{\pi}{4} < \frac{15\pi}{4}$

$\pi + \frac{\pi}{4} < 2\theta < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ または $3\pi + \frac{\pi}{4} < 2\theta < \frac{15\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{4} < 2\theta < \frac{9\pi}{4}$ または $\frac{13\pi}{4} < 2\theta < 4\pi$

$\frac{5\pi}{8} < \theta < \frac{9\pi}{8}$ または $\frac{13\pi}{8} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 4

エオ: 5

カキ: 9

ク: 7

ケコ: 24

サシ: 11

スセ: 31

ソタ: 35

チ: 5

ツ: 8

テ: 9

ト: 8

ナ: 13

ニ: 8

ヌネ: 2

ハ: 1