(1) 2つの曲線 $y=x^3-x^2+2x+1$ と $y=-3x^2+ax+b$ が点$(1,3)$で接するとき、定数$a, b$の値を求めます。 (2) 3次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ が $x=-1$ で極大値 $3$ をとり、$x=2$ で極小値 $-6$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y=x^3-x^2+2x+1$ と $y=-3x^2+ax+b$ が点$(1,3)$で接するとき、定数$a, b$の値を求めます。

(2) 3次関数 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ が $x=-1$ で極大値 $3$ をとり、$x=2$ で極小値 $-6$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点$(1,3)$が2つの曲線上に存在することから、

$3 = 1^3 - 1^2 + 2(1) + 1$ (これは成り立つので問題ない)

$3 = -3(1)^2 + a(1) + b$

$3 = -3 + a + b$

$a + b = 6$ ... (1)

次に、2つの曲線が点$(1,3)$で接することから、その点における微分係数が等しくなります。

$y' = 3x^2 - 2x + 2$ より、 $x=1$ のとき $y' = 3(1)^2 - 2(1) + 2 = 3$

$y' = -6x + a$ より、 $x=1$ のとき $y' = -6(1) + a = a - 6$

したがって、$a - 6 = 3$

$a = 9$

(1)式に代入して

$9 + b = 6$

$b = -3$

(2)

$y=ax^3+bx^2+cx+d$

$y'=3ax^2+2bx+c$

$x=-1$で極大値3をとるので、$y(-1)=3$かつ$y'(-1)=0$

$x=2$で極小値-6をとるので、$y(2)=-6$かつ$y'(2)=0$

$y(-1) = -a + b - c + d = 3$ ... (1)

$y(2) = 8a + 4b + 2c + d = -6$ ... (2)

$y'(-1) = 3a - 2b + c = 0$ ... (3)

$y'(2) = 12a + 4b + c = 0$ ... (4)

(4) - (3)より

$9a + 6b = 0$

$3a + 2b = 0$

$b = -\frac{3}{2}a$

(3)より

$c = -3a + 2b = -3a + 2(-\frac{3}{2}a) = -6a$

(1)より

$d = 3 + a - b + c = 3 + a - (-\frac{3}{2}a) + (-6a) = 3 + a + \frac{3}{2}a - 6a = 3 - \frac{7}{2}a$

(2)より

$8a + 4(-\frac{3}{2}a) + 2(-6a) + (3 - \frac{7}{2}a) = -6$

$8a - 6a - 12a + 3 - \frac{7}{2}a = -6$

$-10a - \frac{7}{2}a = -9$

$-\frac{27}{2}a = -9$

$a = \frac{2}{3}$

$b = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1$

$c = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4$

$d = 3 - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 9, b = -3$

(2) $a = \frac{2}{3}, b = -1, c = -4, d = \frac{2}{3}$