$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = |\sqrt{x} - t|$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。 (1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。 (2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。 (3) $A(t)$ の最大値、最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le t \le 2$ を満たす実数 $t$ に対し、$xy$ 平面上の曲線 $y = |\sqrt{x} - t|$ を $C$ とする。また、曲線 $C$ と $x$ 軸、および直線 $x = 4$ で囲まれた部分の面積を $A(t)$ とする。

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を $a$ とする。$a$ を $t$ を用いて表すことにより、$a$ の値の範囲を求める。

(2) $A(t)$ を $t$ を用いて表す。

(3) $A(t)$ の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標 $a$ は、$y=0$ となる $x$ の値であるから、

$|\sqrt{a} - t| = 0$

$\sqrt{a} = t$

$a = t^2$

$0 \le t \le 2$ より、 $0 \le t^2 \le 4$ であるから、$0 \le a \le 4$ である。

$1 \le a \le 2$ は誤りである。 $a=t^2$ なので、$0 \le t \le 2$ から $0 \le a \le 4$ である。

ただし、選択肢の形から、$1 \le a \le 2$ ということは、$a = t^2$より、$1 \le t^2 \le 2$なので、 $1 \le t \le \sqrt{2}$ となる。

この問題の意図は、y=0となるxの値がaなので、$\sqrt{x} = t$ より $x=t^2=a$となる。

0<=t<=2より、0<=t^2<=4となる。

よって、0<=a<=4である。問題の形式からすると、1と2が当てはまることはない。

(2) $A(t) = \int_{t^2}^{4} |\sqrt{x} - t| dx$

$A(t) = \int_{t^2}^{4} (\sqrt{x} - t) dx$

$A(t) = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - tx \right]_{t^2}^{4}$

$A(t) = (\frac{2}{3} (4)^{3/2} - 4t) - (\frac{2}{3} (t^2)^{3/2} - t(t^2))$

$A(t) = (\frac{2}{3} (8) - 4t) - (\frac{2}{3} t^3 - t^3)$

$A(t) = \frac{16}{3} - 4t - \frac{2}{3} t^3 + t^3$

$A(t) = \frac{1}{3} t^3 - 4t + \frac{16}{3}$

(3) $A'(t) = t^2 - 4$

$A'(t) = 0$ となるのは、$t = \pm 2$。

$0 \le t \le 2$ より、 $t = 2$。

$A(0) = \frac{16}{3}$

$A(2) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} - 8 = 8 - 8 = 0$

最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $0$。

$A(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t + \frac{16}{3}$

$A'(t) = t^2 - 4$

$A''(t) = 2t$

$A'(t) = 0$ となるのは、$t=2$ のとき。

$A''(2) = 4 > 0$ より、$t=2$ で極小値を取る。

区間の端点 $t=0$ と $t=2$ を調べる。

$A(0) = \frac{16}{3}$

$A(2) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} - 8 = 8 - 8 = 0$

よって、最大値は $\frac{16}{3}$, 最小値は $0$。

1. 問題の内容

$0 \le t \le 2$ の条件下で、$y=|\sqrt{x} - t|$ と $x$ 軸, $x=4$ で囲まれた面積 $A(t)$ について、

(1) $y=0$ となる $x$ 座標 $a$ ($a=t^2$) の範囲を求める。

(2) $A(t)$ を $t$ で表す。

(3) $A(t)$ の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = t^2$ であり、$0 \le t \le 2$ なので、$0 \le a \le 4$. 問題の選択肢から、$0 \le a \le 4$ を埋めることはできない。

(2) $A(t) = \int_{t^2}^{4} |\sqrt{x} - t| dx = \int_{t^2}^{4} (\sqrt{x} - t) dx$

$= [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - tx]_{t^2}^{4} = (\frac{16}{3} - 4t) - (\frac{2}{3} t^3 - t^3) = \frac{1}{3} t^3 - 4t + \frac{16}{3}$

(3) $A'(t) = t^2 - 4$. $A'(t) = 0$ となるのは $t = \pm 2$. $0 \le t \le 2$ なので、$t = 2$ のみ。

$A''(t) = 2t$. $A''(2) = 4 > 0$ より $t=2$ で極小値をとる。

$A(0) = \frac{16}{3}$、$A(2) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{16}{3} = 0$.

最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $0$。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le a \le 4$

(2) $A(t) = \frac{1}{3} t^3 - 4t + \frac{16}{3}$

(3) 最大値は $\frac{16}{3}$、最小値は $0$