定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2(2x)$ を倍角の公式を用いて変形します。

$\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$ より、

$\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$ となります。

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(2x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(4x)) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{4}\sin(0) \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \cdot 1 \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right)$

$= \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$