関数 $g(x) = \cos^{-1}(\frac{1}{x})$ の導関数 $g'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = \cos^{-1}(\frac{1}{x})$ の導関数 $g'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数の微分公式を思い出します。

$\frac{d}{dx}(\cos^{-1}u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$

ここで、$u = \frac{1}{x}$ とすると、$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ となります。

したがって、$g'(x)$ は次のように計算できます。

$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}}(-\frac{1}{x^2})$

$= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$

$= \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}$

$= \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}$

$= \frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}$

ここで、$x > 1$ または $x < -1$ であることに注意します。

$x>0$ のとき、$|x| = x$なので、

$g'(x) = \frac{x}{x^2\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

$x<0$ のとき、$|x| = -x$なので、

$g'(x) = \frac{-x}{x^2\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

これは、$\frac{d}{dx} \arccos(1/x) = \frac{d}{dx} \sec^{-1}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ と同じです。

$g'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

3. 最終的な答え

$g'(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$