関数 $f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに、その式が数学的帰納法を用いて正しいことを証明する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに、その式が数学的帰納法を用いて正しいことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x$

$f'(x) = -\sqrt{3}e^{-\sqrt{3}x} \sin x + e^{-\sqrt{3}x} \cos x = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x)$

$f''(x) = -\sqrt{3} e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x) + e^{-\sqrt{3}x} (-\sin x - \sqrt{3} \cos x) = e^{-\sqrt{3}x} (-\sqrt{3}\cos x + 3\sin x - \sin x - \sqrt{3}\cos x) = e^{-\sqrt{3}x} (2\sin x - 2\sqrt{3} \cos x) = 2e^{-\sqrt{3}x} (\sin x - \sqrt{3} \cos x)$

ここで、$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x) = 2 e^{-\sqrt{3}x} (\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2e^{-\sqrt{3}x} \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

$f''(x) = 2e^{-\sqrt{3}x} (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 2e^{-\sqrt{3}x} (-2) (-\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = -4 e^{-\sqrt{3}x} \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

一般に、$f^{(n)}(x) = 2^{n} e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{n\pi}{3})$ と推測できる。

これを数学的帰納法で証明する。

(1) $n=1$ のとき: $f'(x) = 2 e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 2 e^{-\sqrt{3}x} (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2 e^{-\sqrt{3}x} (\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = e^{-\sqrt{3}x} (\sin x + \sqrt{3}\cos x)$.　しかし、すでに求めた通り、$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x}(\cos x - \sqrt{3} \sin x)$ であるので、$\frac{n\pi}{3}$の符号がおかしい。

$f^{(n)}(x) = 2^{n} e^{-\sqrt{3}x} \sin(x - \frac{n\pi}{3})$と修正すると、

$f'(x) = 2e^{-\sqrt{3}x} \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 2e^{-\sqrt{3}x} (\sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3}) = 2e^{-\sqrt{3}x}(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = e^{-\sqrt{3}x} (\sin x - \sqrt{3} \cos x)$となる。これも異なる。

もう一度、規則性を検討する。

$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x)$.

$f''(x) = e^{-\sqrt{3}x} (2\sin x - 2\sqrt{3} \cos x) = 4 e^{-\sqrt{3}x} (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$.

ここで、$f'(x)$と$f(x)$の関係を考えると、$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3}\sin x)$ となっている。

関数を$re^{-\sqrt{3}x} \sin (x+\theta)$の形に変形すると、計算が簡単になることに気がつく。

$f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x = re^{-\sqrt{3}x} \sin (x+\theta)$

ただし、$r\cos\theta = 1, r\sin\theta = 0$. この条件を満たすのは不可能。

$r\cos\theta = 1, r\sin\theta = 0$では解けないので、

$f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の形に戻って考える。

$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x} (-\sqrt{3} \sin x + \cos x)$

$f''(x) = e^{-\sqrt{3}x} (3\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} \cos x - \sin x) = e^{-\sqrt{3}x} (2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x)$

$f'''(x) = e^{-\sqrt{3}x} (-2\sqrt{3} \sin x + 2\cos x - 2\sqrt{3}\cos x - 6\sin x) = e^{-\sqrt{3}x}(-8\sin x - 4\sqrt{3} \cos x)$

$f(x) = e^{-\sqrt{3}x} \sin x$

$f'(x) = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x)$

ここで、$R\cos\alpha = 1, R\sin\alpha = \sqrt{3}$とすると、$R^2 = 1+3=4$, よって$R=2$。　したがって、$2(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha) = 2 \cos(x + \theta)$.

$f(x) = e^{-\sqrt{3} x} \sin x$

$f'(x) = e^{-\sqrt{3} x} (\cos x - \sqrt{3}\sin x) = 2e^{-\sqrt{3} x} (\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) = 2e^{-\sqrt{3} x} \cos (x + \frac{\pi}{3})$

$f''(x) = 4 e^{-\sqrt{3} x} (-\sin (x + \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} \cos(x + \frac{\pi}{3})) = 4 e^{-\sqrt{3} x} (-2) (1/2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}/2 \cos(x + \frac{\pi}{3}) = -8e^{-\sqrt{3} x} \sin(x + \frac{2\pi}{3})$.

$f'''(x) = 16 e^{-\sqrt{3}x} (\sin(x+\pi) + \sqrt{3} \cos(x+\pi)) = 16e^{-\sqrt{3}x}\sin(x+\pi+\pi/3) \ldots$

一般化すると、

$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-\sqrt{3} x} \sin(x + n \frac{\pi}{6} + m\frac{\pi}{2})$, 　しかし、この式は複雑すぎる。

オイラーの公式を使う

$f(x) = e^{-\sqrt{3}x}\sin x = \frac{1}{2i} (e^{(-\sqrt{3}+i)x} - e^{(-\sqrt{3}-i)x})$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2i} ((-\sqrt{3}+i)^n e^{(-\sqrt{3}+i)x} - (-\sqrt{3}-i)^n e^{(-\sqrt{3}-i)x})$.

$-\sqrt{3}+i = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$, $-\sqrt{3}-i = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{2^n}{2i} (e^{i\frac{5n\pi}{6}}e^{(-\sqrt{3}+i)x} - e^{-i\frac{5n\pi}{6}}e^{(-\sqrt{3}-i)x})$

$=2^n e^{-\sqrt{3}x} \frac{e^{i(x+5n\pi/6)} - e^{-i(x+5n\pi/6)}}{2i} = 2^n e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5n\pi}{6})$.

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5n\pi}{6})$.

数学的帰納法で証明する。

(1) $n=1$ のとき: $f'(x) = 2 e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5\pi}{6}) = 2 e^{-\sqrt{3}x} (\sin x \cos \frac{5\pi}{6} + \cos x \sin \frac{5\pi}{6}) = 2 e^{-\sqrt{3}x} (-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2} \cos x) = e^{-\sqrt{3}x} (\cos x - \sqrt{3} \sin x)$.

(2) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = 2^k e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5k\pi}{6})$が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} [2^k e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5k\pi}{6})] = 2^k (-\sqrt{3}) e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5k\pi}{6}) + 2^k e^{-\sqrt{3}x} \cos(x + \frac{5k\pi}{6}) = 2^k e^{-\sqrt{3}x} (\cos(x + \frac{5k\pi}{6}) - \sqrt{3} \sin(x + \frac{5k\pi}{6})) = 2^k e^{-\sqrt{3}x} [2 (\frac{1}{2} \cos(x + \frac{5k\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x + \frac{5k\pi}{6}))] = 2^{k+1} e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5k\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}) = 2^{k+1} e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5(k+1)\pi}{6})$.

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して、$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5n\pi}{6})$が成り立つ。

最終的な答え: $f^{(n)}(x) = 2^n e^{-\sqrt{3}x} \sin(x + \frac{5n\pi}{6})$