画像に示された微分積分の練習問題を解きます。具体的には、 * 問1: 関数 $y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 1$ の極値を求めます。 * 問2: 9個の不定積分を求めます。 * 問3: 定積分 $\int_1^2 (x^2 + x) dx$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文に沿って、微分積分の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像に示された微分積分の練習問題を解きます。具体的には、

* 問1: 関数 $y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 1$ の極値を求めます。

* 問2: 9個の不定積分を求めます。

* 問3: 定積分 $\int_1^2 (x^2 + x) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

**問1: 関数の極値を求める**

1. 導関数を計算します。

$y' = x^4 - 2x^3 - 3x^2$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 2x - 3) = 0$

$x^2(x - 3)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 3$

3. 第二導関数を計算します。

$y'' = 4x^3 - 6x^2 - 6x$

4. 各 $x$ について $y''$ の符号を調べます。

* $x = -1$: $y''(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 - 6(-1) = -4 - 6 + 6 = -4 < 0$ (極大)

* $x = 0$: $y''(0) = 0$ (変曲点の可能性)

* $x = 3$: $y''(3) = 4(3)^3 - 6(3)^2 - 6(3) = 108 - 54 - 18 = 36 > 0$ (極小)

5. 極値となる $y$ の値を計算します。

* $x = -1$: $y(-1) = \frac{1}{5}(-1)^5 - \frac{1}{2}(-1)^4 - (-1)^3 + 1 = -\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{-2 - 5 + 10 + 10}{10} = \frac{13}{10}$

* $x = 3$: $y(3) = \frac{1}{5}(3)^5 - \frac{1}{2}(3)^4 - (3)^3 + 1 = \frac{243}{5} - \frac{81}{2} - 27 + 1 = \frac{486 - 405 - 270 + 10}{10} = \frac{-179}{10}$

**問2: 不定積分を求める**

(1) $\int (4x^3 + 2x) dx = x^4 + x^2 + C$

(2) $\int (x^2 + x + 2) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x + C$

(3) $\int \sin 5x dx = -\frac{1}{5}\cos 5x + C$

(4) $\int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$

(5) $\int \frac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}} dx$

$u = 1-2x^2$ と置換すると、$du = -4x dx$。よって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}} dx = \int \frac{-1/4}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{4} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{4} \cdot 2 u^{1/2} + C = -\frac{1}{2} \sqrt{1 - 2x^2} + C$

(6) $\int (x+1) \sin x dx$

部分積分を利用する。

$u = x+1, dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx, v = -\cos x$。

$\int (x+1) \sin x dx = -(x+1)\cos x + \int \cos x dx = -(x+1)\cos x + \sin x + C$

(7) $I = \int e^x \cos x dx$

部分積分を2回行う。

$u = e^x, dv = \cos x dx$ とすると、$du = e^x dx, v = \sin x$。

$I = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$

次に、$u = e^x, dv = \sin x dx$ とすると、$du = e^x dx, v = -\cos x$。

$I = e^x \sin x - ( -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx ) = e^x \sin x + e^x \cos x - I$

$2I = e^x (\sin x + \cos x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$

(8) $\int (x+5) \log|x| dx$

部分積分を利用する。

$u = \log|x|, dv = (x+5) dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{1}{2}x^2 + 5x$。

$\int (x+5) \log|x| dx = (\frac{1}{2}x^2 + 5x) \log|x| - \int (\frac{1}{2}x^2 + 5x) \frac{1}{x} dx = (\frac{1}{2}x^2 + 5x) \log|x| - \int (\frac{1}{2}x + 5) dx = (\frac{1}{2}x^2 + 5x) \log|x| - (\frac{1}{4}x^2 + 5x) + C$

(9) $\int x \sqrt{3 - 4x} dx$

$u = 3 - 4x$ と置換すると、$x = \frac{3-u}{4}, dx = -\frac{1}{4}du$。

$\int x \sqrt{3 - 4x} dx = \int \frac{3-u}{4} \sqrt{u} (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{16} \int (3-u) u^{1/2} du = -\frac{1}{16} \int (3u^{1/2} - u^{3/2}) du = -\frac{1}{16} (3 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2}) + C = -\frac{1}{16} (2 u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2}) + C = -\frac{1}{8} u^{3/2} + \frac{1}{40} u^{5/2} + C = -\frac{1}{8}(3-4x)^{3/2} + \frac{1}{40}(3-4x)^{5/2} + C$

**問3: 定積分を求める**

$\int_1^2 (x^2 + x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_1^2 = (\frac{8}{3} + \frac{4}{2}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{7}{3} + \frac{3}{2} = \frac{14 + 9}{6} = \frac{23}{6}$

3. 最終的な答え

* 問1: 極大値: $x = -1$ のとき $y = \frac{13}{10}$, 極小値: $x = 3$ のとき $y = -\frac{179}{10}$

* 問2: 上記参照

* 問3: $\frac{23}{6}$