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関数 $y = x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

解析学導関数微分合成関数の微分積の微分法逆三角関数
2025/6/1

1. 問題の内容

関数 y=x1−x2+sin⁡−1xy = x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x の導関数 dydx\frac{dy}{dx} を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、yy を xx について微分します。積の微分法と合成関数の微分法を使います。
y=x1−x2+sin⁡−1xy = x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x
dydx=ddx(x1−x2)+ddx(sin⁡−1x)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x\sqrt{1-x^2}) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)
最初の項の微分を計算します。積の微分法を使うと
ddx(x1−x2)=ddx(x)⋅1−x2+x⋅ddx(1−x2)\frac{d}{dx}(x\sqrt{1-x^2}) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})
=1⋅1−x2+x⋅121−x2⋅(−2x)= 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)
=1−x2+−x21−x2= \sqrt{1-x^2} + \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}
=1−x21−x2−x21−x2= \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}
=1−2x21−x2= \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}
次に、sin⁡−1x\sin^{-1}x の微分を計算します。
ddx(sin⁡−1x)=11−x2\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
これらを合わせると、
dydx=1−2x21−x2+11−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
=1−2x2+11−x2= \frac{1-2x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}
=2−2x21−x2= \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}
=2(1−x2)1−x2= \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}
=21−x2= 2\sqrt{1-x^2}

3. 最終的な答え

dydx=21−x2\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1-x^2}

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