関数 $f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。 (2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフを実線で、$y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。

(2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフを実線で、$y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描きます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域と値域を求める。

まず、定義域を求めます。根号の中身が0以上である必要があるので、$x-2 \ge 0$ より $x \ge 2$。したがって、定義域は $x \ge 2$ です。

次に、値域を求めます。

$x \ge 2$ のとき、$\sqrt{x-2} \ge 0$ なので、$-\sqrt{x-2} \le 0$。したがって、$1 - \sqrt{x-2} \le 1$。

$x=2$ のとき、$f(2) = 1 - \sqrt{2-2} = 1$。

$x$ が大きくなるにつれて $\sqrt{x-2}$ も大きくなるので、$f(x)$ は減少関数です。

したがって、値域は $y \le 1$ です。

(2) 逆関数を求める。

$y = 1 - \sqrt{x-2}$ を $x$ について解きます。

$\sqrt{x-2} = 1 - y$

$x - 2 = (1-y)^2$

$x = (1-y)^2 + 2$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えると、逆関数は

$y = (1-x)^2 + 2$

となります。

ただし、逆関数の定義域は元の関数の値域であるので、$x \le 1$ です。

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = (1-x)^2 + 2$, $x \le 1$ です。

(3) グラフを描く。

グラフは省略します。$f(x) = 1 - \sqrt{x-2}$ のグラフは、点(2, 1)から始まり、右下へ減少していく曲線です。

$f^{-1}(x) = (1-x)^2 + 2$, $x \le 1$ のグラフは、$y = x^2$ のグラフを平行移動したもので、頂点が (1, 2) にあり、左へ開く放物線の一部です。

$y = x$ に関して線対称になっていることを確認してください。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \ge 2$, 値域: $y \le 1$

(2) 逆関数: $f^{-1}(x) = (1-x)^2 + 2$, $x \le 1$

(3) グラフは省略