与えられた微分方程式を解きます。 1. (1) $y' + xy = x$

以下に、提示された微分方程式の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。

1. (1) $y' + xy = x$

2. (2) $xy' + y = 4x^3$

3. (1) $y' = xy + xy^3$

4. (2) $-y'e^{-y} + \frac{2x}{x^2+1}e^{-y} = \frac{2}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

1.(1) $y' + xy = x$

これは1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int x dx} = e^{\frac{x^2}{2}}$

両辺に積分因子をかけます。

$e^{\frac{x^2}{2}}y' + xe^{\frac{x^2}{2}}y = xe^{\frac{x^2}{2}}$

$\frac{d}{dx}(e^{\frac{x^2}{2}}y) = xe^{\frac{x^2}{2}}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{\frac{x^2}{2}}y) dx = \int xe^{\frac{x^2}{2}} dx$

$e^{\frac{x^2}{2}}y = e^{\frac{x^2}{2}} + C$

$y = 1 + Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

1.(2) $xy' + y = 4x^3$

$(xy)' = 4x^3$

両辺を積分します。

$\int (xy)' dx = \int 4x^3 dx$

$xy = x^4 + C$

$y = x^3 + \frac{C}{x}$

2.(1) $y' = xy + xy^3$

これはベルヌーイ方程式です。 $v = y^{-2}$ と置きます。

$y' = xy + xy^3$

$\frac{y'}{y^3} = \frac{x}{y^2} + x$

$y^{-3}y' = xy^{-2} + x$

$v = y^{-2}$ とすると $v' = -2y^{-3}y'$ よって $y^{-3}y' = -\frac{1}{2}v'$

$-\frac{1}{2}v' = xv + x$

$v' = -2xv - 2x$

$v' + 2xv = -2x$

これは1階線形微分方程式です。積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$

両辺に積分因子をかけます。

$e^{x^2}v' + 2xe^{x^2}v = -2xe^{x^2}$

$\frac{d}{dx}(e^{x^2}v) = -2xe^{x^2}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{x^2}v) dx = \int -2xe^{x^2} dx$

$e^{x^2}v = -e^{x^2} + C$

$v = -1 + Ce^{-x^2}$

$y^{-2} = -1 + Ce^{-x^2}$

$y^2 = \frac{1}{-1 + Ce^{-x^2}} = \frac{1}{Ce^{-x^2} - 1}$

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{Ce^{-x^2}-1}}$

2.(2) $-y'e^{-y} + \frac{2x}{x^2+1}e^{-y} = \frac{2}{x^2+1}$

$z = e^{-y}$ とおくと、$z' = -y'e^{-y}$

$z' + \frac{2x}{x^2+1}z = \frac{2}{x^2+1}$

積分因子 $\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1$

$(x^2+1)z' + 2xz = 2$

$((x^2+1)z)' = 2$

両辺を積分

$(x^2+1)z = 2x + C$

$z = \frac{2x+C}{x^2+1}$

$e^{-y} = \frac{2x+C}{x^2+1}$

$-y = \ln(\frac{2x+C}{x^2+1})$

$y = -\ln(\frac{2x+C}{x^2+1}) = \ln(\frac{x^2+1}{2x+C})$

3. 最終的な答え

1. (1) $y = 1 + Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

2. (2) $y = x^3 + \frac{C}{x}$

3. (1) $y = \pm \sqrt{\frac{1}{Ce^{-x^2}-1}}$

4. (2) $y = \ln(\frac{x^2+1}{2x+C})$