(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4+9x^2}}{\sqrt{2+x^2}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x}$ 上記2つの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4+9x^2}}{\sqrt{2+x^2}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x}$

上記2つの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4+9x^2}}{\sqrt{2+x^2}}$

分子と分母をそれぞれ$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4+9x^2}}{\sqrt{2+x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+9}}{\sqrt{\frac{2}{x^2}+1}}$

$x \to \infty$のとき$\frac{4}{x^2} \to 0$ かつ $\frac{2}{x^2} \to 0$ であるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+9}}{\sqrt{\frac{2}{x^2}+1}} = \frac{\sqrt{0+9}}{\sqrt{0+1}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x}$

分子と分母をそれぞれ$5^x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - (\frac{2}{5})^x}{3 + (\frac{3}{5})^x}$

$x \to \infty$のとき $(\frac{2}{5})^x \to 0$ かつ $(\frac{3}{5})^x \to 0$ であるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - (\frac{2}{5})^x}{3 + (\frac{3}{5})^x} = \frac{2-0}{3+0} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\frac{2}{3}$