与えられた関数 $y = \log{\sqrt{x^2+1}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log{\sqrt{x^2+1}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を簡単にします。

$\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$y = \log{\sqrt{x^2+1}} = \log{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\log{(x^2+1)}$

次に、合成関数の微分を行います。$y = \frac{1}{2}\log{u}$ とおくと、$u = x^2+1$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2(x^2+1)}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x^2+1)} \cdot 2x = \frac{x}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2+1}$