与えられた関数 $y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分を用いて、$y$ を $x$ で微分します。

$y = \sqrt{x + 2\sqrt{x}}$ なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \cdot \frac{d}{dx}(x + 2\sqrt{x})$となります。

次に、$x + 2\sqrt{x}$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(x + 2\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x) + 2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$

$= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x(x + 2\sqrt{x})}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x^2 + 2x\sqrt{x}}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x^2 + 2x^{3/2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x(x + 2\sqrt{x})}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x^2 + 2x^{3/2}}}$