関数 $5^x$ のマクローリン級数を、$x^3$ の項まで求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $5^x$ のマクローリン級数を、$x^3$ の項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$5^x$ を $e$ を底とする指数関数に変形します。

$5^x = e^{\ln(5^x)} = e^{x\ln5}$

次に、$e^u$ のマクローリン展開を利用します。$e^u$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$

ここで、$u = x\ln5$ とおくと、

$e^{x\ln5} = 1 + x\ln5 + \frac{(x\ln5)^2}{2!} + \frac{(x\ln5)^3}{3!} + \dots$

これを整理すると、

$5^x = 1 + (\ln5)x + \frac{(\ln5)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln5)^3}{6}x^3 + \dots$

したがって、$x^3$ までの項は

$1 + (\ln5)x + \frac{(\ln5)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln5)^3}{6}x^3$

3. 最終的な答え

$1 + (\ln5)x + \frac{(\ln5)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln5)^3}{6}x^3$