与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1}x)$ の導関数 $dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1}x)$ の導関数 $dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。まず、外側の関数 $u = \tan^{-1}(v)$ の微分を求め、次に内側の関数 $v = \sin^{-1}(x)$ の微分を求める。最後に、連鎖律を用いて $dy/dx$ を計算する。

まず、$u = \tan^{-1}(v)$ の微分は、

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{1 + v^2}$

次に、$v = \sin^{-1}(x)$ の微分は、

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

ここで、$y = \tan^{-1}(\sin^{-1}x)$ であるので、$v = \sin^{-1}x$ とおくと、$y = \tan^{-1}v$ である。

よって、

$\frac{dy}{dv} = \frac{1}{1 + v^2} = \frac{1}{1 + (\sin^{-1}x)^2}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sin^{-1}x)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1 + (\sin^{-1}x)^2)\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1 + (\sin^{-1}x)^2)\sqrt{1 - x^2}}$