## 問題の回答

## 問題の回答

### [3] 次の媒介変数表示された関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x, y$ の式で表せ。

1. $x = t - \frac{1}{t}, y = t + \frac{1}{t}$

2. $x = \sqrt{t^2 + 1}, y = t^2$

### [4] 半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ の点 $(a, b)$ における接線の方程式を求めよ。ただし、$b \neq 0$ とする。

### [5]

1. 微分の定義を用いて、$(x^3)' = 3x^2$ となることを示せ。

2. 微分の定義を用いて、$(\cos x)' = -\sin x$ となることを示せ。

3. 微分の定義を用いて、$(\sin x)' = \cos x$ となることを示せ。

Hint. 2, 3は三角関数の和積の公式を用いる。

以下に、これらの問題を一つずつ解いていきます。

**[3]

1. $x = t - \frac{1}{t}, y = t + \frac{1}{t}$**

1. **問題の内容**

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = t - \frac{1}{t}$ と $y = t + \frac{1}{t}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ と $y$ の式で表します。

2. **解き方の手順**

まず、$t$ で微分して、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。最後に、$t$ を $x$ と $y$ で表し、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ と $y$ の式で表します。

$\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2}$

$\frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{1}{t^2}}{1 + \frac{1}{t^2}} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$

ここで、$x^2 = (t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$ と $y^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$ なので、$y^2 - x^2 = 4$ が成り立ちます。

また、$x y = (t-\frac{1}{t})(t+\frac{1}{t})=t^2-\frac{1}{t^2}$なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{-xy}{x^2+2}=\frac{xy}{2-x^2}$とも言えます。

$y^2 = x^2 + 4$ なので，$t^2 + \frac{1}{t^2} = x^2 + 2$となります。$t^2 + \frac{1}{t^2}= y^2 - 2$.

すると、$\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\frac{1/t^2}{1/t^2}=\frac{1-1/t^2}{1+1/t^2}=\frac{1-\frac{y^2-x^2}{4}}{1+\frac{y^2-x^2}{4}}=\frac{4-(y^2-x^2)}{4+(y^2-x^2)}=\frac{4-y^2+x^2}{4+y^2-x^2}=\frac{x^2-(x^2+4)+4}{x^2+4-x^2+4-4}=\frac{x^2-x^2-4+4}{y^2+4-x^2}=\frac{x^2-y^2+4}{-x^2+y^2+4}=\frac{t^2-\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}+2}=xy$

$\frac{x^2+2}{y^2-2}$.

3. **最終的な答え**

$\frac{dy}{dx} = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$。

$y^2-x^2 = 4$を使えば、

$\frac{dy}{dx}=\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}=\frac{2+x^2 - 4}{y^2-2}=\frac{xy}{\sqrt(x^4+4*x^2)+x^2}$

**[3]

2. $x = \sqrt{t^2 + 1}, y = t^2$**

1. **問題の内容**

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = \sqrt{t^2 + 1}$ と $y = t^2$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ と $y$ の式で表します。

2. **解き方の手順**

まず、$t$ で微分して、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。最後に、$t$ を $x$ と $y$ で表し、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ と $y$ の式で表します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}} = 2\sqrt{t^2 + 1}$

$x = \sqrt{t^2 + 1}$ より、$\frac{dy}{dx} = 2x$

3. **最終的な答え**

$\frac{dy}{dx} = 2x$

**[4] 半径1の円 $x^2 + y^2 = 1$ の点 $(a, b)$ における接線の方程式を求めよ。ただし、$b \neq 0$ とする。**

1. **問題の内容**

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(a, b)$ における接線の方程式を求めます。ただし、$b \neq 0$ とします。

2. **解き方の手順**

陰関数微分を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。次に、点 $(a, b)$ における接線の傾きを求めます。最後に、点 $(a, b)$ を通り、傾きが求めた値である直線の方程式を求めます。

$x^2 + y^2 = 1$ を $x$ で微分すると、$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

点 $(a, b)$ における接線の傾きは $-\frac{a}{b}$

接線の方程式は $y - b = -\frac{a}{b}(x - a)$

$by - b^2 = -ax + a^2$

$ax + by = a^2 + b^2$

点 $(a, b)$ は円上にあるので、$a^2 + b^2 = 1$

3. **最終的な答え**

$ax + by = 1$

**[5]

1. 微分の定義を用いて、$(x^3)' = 3x^2$ となることを示せ。**

1. **問題の内容**

微分の定義を用いて、関数 $f(x) = x^3$ の導関数が $f'(x) = 3x^2$ であることを示します。

2. **解き方の手順**

微分の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ です。この定義を用いて、$f(x) = x^3$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$

$= 3x^2$

3. **最終的な答え**

したがって、$(x^3)' = 3x^2$

**[5]

2. 微分の定義を用いて、$(\cos x)' = -\sin x$ となることを示せ。**

1. **問題の内容**

微分の定義を用いて、関数 $f(x) = \cos x$ の導関数が $f'(x) = -\sin x$ であることを示します。

2. **解き方の手順**

微分の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ です。この定義を用いて、$f(x) = \cos x$ の導関数を計算します。三角関数の和積の公式 $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用います。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ および $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ を用いると、

$f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

3. **最終的な答え**

したがって、$(\cos x)' = -\sin x$

**[5]

3. 微分の定義を用いて、$(\sin x)' = \cos x$ となることを示せ。**

1. **問題の内容**

微分の定義を用いて、関数 $f(x) = \sin x$ の導関数が $f'(x) = \cos x$ であることを示します。

2. **解き方の手順**

微分の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ です。この定義を用いて、$f(x) = \sin x$ の導関数を計算します。三角関数の和積の公式 $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用います。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ および $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ を用いると、

$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

3. **最終的な答え**

したがって、$(\sin x)' = \cos x$