与えられた無限級数の和を求める問題です。 無限級数は $(1+1)+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{9})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{27})+ \cdots$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

無限級数は $(1+1)+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{9})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{27})+ \cdots$ で表されます。

2. 解き方の手順

この無限級数は、2つの等比数列の和として表すことができます。

具体的には、以下のようになります。

$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots) + (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots)$

それぞれの等比数列の和を計算します。

最初の等比数列の初項は $a_1 = 1$、公比は $r_1 = \frac{1}{2}$ です。

2番目の等比数列の初項は $a_2 = 1$、公比は $r_2 = \frac{1}{3}$ です。

等比数列の和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ であり、$|r|<1$ の場合に収束します。

最初の等比数列の和は $S_1 = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

2番目の等比数列の和は $S_2 = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

したがって、求める無限級数の和は $S_1 + S_2 = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$