関数 $f(x) = \frac{2x-3}{x-1}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を極限の計算を用いて求めます。 (4) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを描きます (漸近線も破線で描くこと)。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x-3}{x-1}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を極限の計算を用いて求めます。

(4) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを描きます (漸近線も破線で描くこと)。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求める。

定義域: 分母が0にならない条件から、$x-1 \neq 0$ より $x \neq 1$。したがって、定義域は $x \neq 1$ の実数全体。

値域: $y = \frac{2x-3}{x-1}$ を $x$ について解く。

$y(x-1) = 2x - 3$

$yx - y = 2x - 3$

$yx - 2x = y - 3$

$x(y-2) = y-3$

$x = \frac{y-3}{y-2}$

分母が0にならない条件から、$y-2 \neq 0$ より $y \neq 2$。したがって、値域は $y \neq 2$ の実数全体。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(1)で $x = \frac{y-3}{y-2}$ と求めたので、$x$ と $y$ を入れ替えて逆関数を得る。

$y = \frac{x-3}{x-2}$

よって、$f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を極限の計算を用いて求める。

垂直漸近線: 分母が0になる $x$ の値を探す。$x-2 = 0$ より $x = 2$ が垂直漸近線。

$\lim_{x \to 2+0} f^{-1}(x) = \lim_{x \to 2+0} \frac{x-3}{x-2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

$\lim_{x \to 2-0} f^{-1}(x) = \lim_{x \to 2-0} \frac{x-3}{x-2} = \frac{-1}{-0} = +\infty$

水平漸近線: $x \to \pm \infty$ のときの極限を求める。

$\lim_{x \to \infty} f^{-1}(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} f^{-1}(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x-3}{x-2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1-\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$y = 1$ が水平漸近線。

(4) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを描く。(グラフは省略)

漸近線は $x = 2$ と $y = 1$。グラフはこれらの漸近線に近づく双曲線となる。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \neq 1$ の実数全体, 値域: $y \neq 2$ の実数全体

(2) $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{x-2}$

(3) 漸近線: $x = 2$ と $y = 1$

(4) グラフは省略