与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4$ (2) $\log(2 - \log x)$ $(0 < x < e^2)$ (3) $\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ $(x > 3)$ (4) $\sqrt{x}(x^2)$ $(x > 0)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4$

(2) $\log(2 - \log x)$ $(0 < x < e^2)$

(3) $\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ $(x > 3)$

(4) $\sqrt{x}(x^2)$ $(x > 0)$

2. 解き方の手順

(1) 多項式の微分：

各項を個別に微分し、微分したものを足し合わせます。

$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$、定数の微分は 0 です。

(2) 合成関数の微分：

$\log(f(x))$ の微分は $\frac{f'(x)}{f(x)}$です。

まず、外側の$\log$を微分し、次に内側の$2-\log x$を微分します。

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ です。

(3) 商の微分：

$\frac{f(x)}{g(x)}$ の微分は $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$です。

$f(x) = x$、 $g(x) = \sqrt{x-3}$として、それぞれの微分を計算し、上記の公式に当てはめます。

$\sqrt{x-3}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$です。

(4) 積の微分と合成関数の微分：

$\sqrt{x}(x^2)$ は $x^{1/2}x^2 = x^{5/2}$ と変形できます。

$x^n$の微分公式に従いましょう。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{d}{dx}(x^7 - 2x^4 + 3x^2 + 4) = 7x^6 - 8x^3 + 6x$

(2)

$\frac{d}{dx}(\log(2 - \log x)) = \frac{-\frac{1}{x}}{2 - \log x} = -\frac{1}{x(2 - \log x)}$

(3)

$\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{x-3}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-3} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-3}}}{(\sqrt{x-3})^2} = \frac{\sqrt{x-3} - \frac{x}{2\sqrt{x-3}}}{x-3} = \frac{2(x-3) - x}{2(x-3)\sqrt{x-3}} = \frac{x-6}{2(x-3)\sqrt{x-3}} = \frac{x-6}{2(x-3)^{3/2}}$

(4)

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}(x^2)) = \frac{d}{dx}(x^{5/2}) = \frac{5}{2}x^{3/2}$