スカラー場 $z = xy + xy^2$ の勾配 (grad $z$) を求める。

1. 問題の内容

スカラー場 $z = xy + xy^2$ の勾配 (grad $z$) を求める。

2. 解き方の手順

勾配 (grad) は、各変数に関する偏微分のベクトルとして定義されます。

$z = f(x, y)$ の場合、grad $z = \nabla z = (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})$ となります。

まず、$z$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy + xy^2) = y + y^2$

次に、$z$ を $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy + xy^2) = x + 2xy$

したがって、grad $z$ は次のようになります。

$\nabla z = (y + y^2, x + 2xy)$

3. 最終的な答え

grad $z = (y + y^2, x + 2xy)$