2次元スカラー場 $z = f(x, y)$ における grad $z$ と $z$ の全微分の違いを説明します。

1. 問題の内容

2次元スカラー場 $z = f(x, y)$ における grad $z$ と $z$ の全微分の違いを説明します。

2. 解き方の手順

まず、grad $z$ と全微分の定義を確認します。

- grad $z$ は、スカラー場 $z$ の勾配ベクトルを表し、各方向への変化率を示します。2次元の場合、grad $z$ は次のように定義されます。

$\text{grad } z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

これはベクトルであり、各成分は $x$ と $y$ それぞれの方向への偏微分です。

- 全微分 $dz$ は、$x$ と $y$ の微小な変化に対する $z$ の変化を表します。全微分は次のように定義されます。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

これはスカラーであり、$z$ の微小変化を表します。

grad $z$ と 全微分の違いをまとめると、

* grad $z$ はベクトルであるのに対し、全微分 $dz$ はスカラーである。

* grad $z$ は各方向への変化率を表すベクトル場であり、全微分 $dz$ はある点における関数の微小変化を表す。

* 全微分は、勾配ベクトルと位置ベクトルの内積で表現できる: $dz = \text{grad } z \cdot (dx, dy)$

3. 最終的な答え

2次元スカラー場 $z = f(x, y)$ において、grad $z$ は $\left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$ で表されるベクトルであるのに対し、全微分 $dz$ は $\frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ で表されるスカラーである。 grad $z$ は関数の変化率の方向と大きさを表すベクトル場であり、全微分 $dz$ はある点における関数の微小変化を表す。 全微分は勾配ベクトルと変位ベクトルの内積として表される。