与えられた不定積分を計算します。 積分は $\int \frac{1}{g - \frac{\beta}{m}v^2} dv$ です。ここで、$g$, $\beta$, $m$は定数です。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

積分は $\int \frac{1}{g - \frac{\beta}{m}v^2} dv$ です。ここで、$g$, $\beta$, $m$は定数です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。そのためには、分母を因数分解します。

$g - \frac{\beta}{m}v^2 = g(1 - \frac{\beta}{mg}v^2) = g(1 - \sqrt{\frac{\beta}{mg}}v)(1 + \sqrt{\frac{\beta}{mg}}v)$

ここで、$a = \sqrt{\frac{\beta}{mg}}$とおくと、$g - \frac{\beta}{m}v^2 = g(1-av)(1+av)$となります。

$\frac{1}{g - \frac{\beta}{m}v^2} = \frac{1}{g(1-av)(1+av)} = \frac{A}{1-av} + \frac{B}{1+av}$

両辺に$g(1-av)(1+av)$をかけると、

$1 = gA(1+av) + gB(1-av) = g(A+B) + g(A-B)av$

したがって、$A+B = \frac{1}{g}$かつ$A-B = 0$となります。

$A=B$なので、$2A = \frac{1}{g}$、つまり$A = B = \frac{1}{2g}$となります。

$\frac{1}{g - \frac{\beta}{m}v^2} = \frac{1}{2g}(\frac{1}{1-av} + \frac{1}{1+av})$

したがって、

$\int \frac{1}{g - \frac{\beta}{m}v^2} dv = \frac{1}{2g} \int (\frac{1}{1-av} + \frac{1}{1+av}) dv = \frac{1}{2g}(-\frac{1}{a} \ln|1-av| + \frac{1}{a}\ln|1+av|) + C$

$= \frac{1}{2ga} \ln|\frac{1+av}{1-av}| + C = \frac{1}{2g\sqrt{\frac{\beta}{mg}}} \ln|\frac{1+\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}{1-\sqrt{\frac{\beta}{mg}}v}| + C = \frac{\sqrt{m}}{2g\sqrt{\beta g}} \ln|\frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}-v}| + C$

$= \frac{1}{2\sqrt{\beta g m}} \ln|\frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}-v}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{\beta g m}} \ln|\frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}}-v}| + C$

または

$\frac{1}{2 \sqrt{g \beta m}} \ln \left| \frac{\sqrt{mg} + \sqrt{\beta} v}{\sqrt{mg} - \sqrt{\beta} v} \right| + C$