(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。 (b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、$ (1+x)^{\frac{2}{3}} $のマクローリン展開に基づく0,1,2,3次の近似多項式を利用して得た$ (1.1)^{\frac{2}{3}} $の近似値を$ a_0, a_1, a_2, a_3 $とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $ \sigma_i = \left|\frac{a_i - a}{a}\right| $ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

1. 問題の内容

(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。

(b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、$(1+x)^{\frac{2}{3}}$のマクローリン展開に基づく0,1,2,3次の近似多項式を利用して得た$(1.1)^{\frac{2}{3}}$の近似値を$a_0, a_1, a_2, a_3$とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $\sigma_i = \left|\frac{a_i - a}{a}\right|$ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

2. 解き方の手順

(a) マクローリン展開は、関数$f(x)$ の $x=0$ 周りのテイラー展開であり、以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

まず、$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ の導関数を求める。

$f'(x) = \frac{2}{3}(1+x)^{-\frac{1}{3}}$

$f''(x) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3})(1+x)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{4}{3}}$

$f'''(x) = -\frac{2}{9}(-\frac{4}{3})(1+x)^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27}(1+x)^{-\frac{7}{3}}$

次に、$x=0$ でのこれらの導関数の値を計算する。

$f(0) = (1+0)^{\frac{2}{3}} = 1$

$f'(0) = \frac{2}{3}(1+0)^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}(1+0)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{2}{9}$

$f'''(0) = \frac{8}{27}(1+0)^{-\frac{7}{3}} = \frac{8}{27}$

したがって、3次までのマクローリン展開は次のようになる。

$f(x) = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9} \cdot \frac{x^2}{2!} + \frac{8}{27} \cdot \frac{x^3}{3!} = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b) $x=0.1$ を代入して、$a_0, a_1, a_2, a_3$ を計算する。

$a_0 = 1$

$a_1 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) = 1 + \frac{0.2}{3} = 1 + 0.0666... \approx 1.0666...$

$a_2 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 = 1 + \frac{2}{30} - \frac{1}{900} = 1 + 0.0666... - 0.00111... \approx 1.06555...$

$a_3 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 + \frac{4}{81}(0.1)^3 = 1 + \frac{2}{30} - \frac{1}{900} + \frac{4}{81000} = 1 + 0.0666... - 0.00111... + 0.0000493... \approx 1.06559$

$a = 1.065602236...$

$\sigma_i = \left|\frac{a_i - a}{a}\right|$ を計算する。

$\sigma_0 = \left|\frac{1 - 1.065602236}{1.065602236}\right| = \left|\frac{-0.065602236}{1.065602236}\right| \approx 0.0615 \approx 0.062$

$\sigma_1 = \left|\frac{1.0666... - 1.065602236}{1.065602236}\right| = \left|\frac{0.001064}{1.0656}\right| \approx 0.000998 \approx 0.0010$

$\sigma_2 = \left|\frac{1.06555... - 1.065602236}{1.065602236}\right| = \left|\frac{-0.000046}{1.0656}\right| \approx 0.000043 \approx 0.000043$

$\sigma_3 = \left|\frac{1.06559 - 1.065602236}{1.065602236}\right| = \left|\frac{-0.000012}{1.0656}\right| \approx 0.000011 \approx 0.000011$

有効数字2桁で表すと：

$\sigma_0 \approx 0.062$

$\sigma_1 \approx 0.0010$

$\sigma_2 \approx 0.000043$

$\sigma_3 \approx 0.000011$

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b)

$a_0 = 1$, $a_1 \approx 1.07$, $a_2 \approx 1.066$, $a_3 \approx 1.066$

$\sigma_0 = 0.062$

$\sigma_1 = 0.0010$

$\sigma_2 = 0.000043$

$\sigma_3 = 0.000011$