与えられた曲線と直線、そしてx軸によって囲まれた部分の面積を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{2}x$ と $x=5$ (2) $y = x^2 + 3$ と $x=2, x=3$ (3) $y = -2x^2$ と $x=-3, x=1$

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線、そしてx軸によって囲まれた部分の面積を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{2}x$ と $x=5$

(2) $y = x^2 + 3$ と $x=2, x=3$

(3) $y = -2x^2$ と $x=-3, x=1$

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、面積を求めるための積分計算を行います。

(1) $y = \frac{1}{2}x$ と $x=5$ と $x$軸で囲まれた部分の面積は、定積分で計算できます。積分範囲は$x=0$から$x=5$です。

面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_{0}^{5} \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} = \frac{25}{4}$

(2) $y = x^2 + 3$ と $x=2, x=3$ と $x$軸で囲まれた部分の面積は、定積分で計算できます。積分範囲は$x=2$から$x=3$です。

面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_{2}^{3} (x^2 + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x \right]_{2}^{3} = \left(\frac{27}{3} + 9\right) - \left(\frac{8}{3} + 6\right) = (9+9) - (\frac{8}{3} + 6) = 18 - \frac{8}{3} - 6 = 12 - \frac{8}{3} = \frac{36 - 8}{3} = \frac{28}{3}$

(3) $y = -2x^2$ と $x=-3, x=1$ と $x$軸で囲まれた部分の面積を求めます。$y = -2x^2$ は常に $x$軸の下にあるため、面積は定積分の絶対値を取ることで得られます。積分範囲は$x=-3$から$x=1$です。

面積 $S_3$ は、

$S_3 = \left| \int_{-3}^{1} -2x^2 \, dx \right| = \left| -2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{1} \right| = \left| -2 \left( \frac{1}{3} - \frac{-27}{3} \right) \right| = \left| -2 \left( \frac{1}{3} + 9 \right) \right| = \left| -2 \left( \frac{1+27}{3} \right) \right| = \left| -2 \cdot \frac{28}{3} \right| = \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{4}$

(2) $\frac{28}{3}$

(3) $\frac{56}{3}$