問題は、関数 $f(x)$ の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。今回は、$f(x) = x^2 + 2x - 3$ （ただし $x \ge -1$）の場合について、値域と逆関数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x)$ の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。今回は、$f(x) = x^2 + 2x - 3$ （ただし $x \ge -1$）の場合について、値域と逆関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$

次に、値域を求めます。定義域が $x \ge -1$ であることを考慮すると、$x+1 \ge 0$ となります。したがって、$(x+1)^2 \ge 0$ となり、 $(x+1)^2 - 4 \ge -4$ となります。

$x = -1$の時、$f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

$x$ が大きくなるにつれて、$f(x)$ の値も大きくなるので、値域は $f(x) \ge -4$となります。

次に、逆関数を求めます。$y = f(x)$ とおくと、$y = (x+1)^2 - 4$ となります。

$x$ と $y$ を入れ替えると、$x = (y+1)^2 - 4$ となります。

この式を $y$ について解きます。

$x + 4 = (y+1)^2$

$y+1 = \pm \sqrt{x+4}$

$y = -1 \pm \sqrt{x+4}$

ここで、$x \ge -1$ のとき、$y = f(x) \ge -4$ であり、逆関数は $f^{-1}(x) \ge -1$を満たす必要があります。

$y = -1 - \sqrt{x+4}$の場合、$\sqrt{x+4} \ge 0$なので、$y \le -1$となります。これは$f^{-1}(x) \ge -1$を満たさないので不適です。

$y = -1 + \sqrt{x+4}$の場合、$\sqrt{x+4} \ge 0$なので、$y \ge -1$となり、$f^{-1}(x) \ge -1$を満たします。

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x+4}$となります。

3. 最終的な答え

値域：$f(x) \ge -4$

逆関数：$f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x+4}$