与えられた関数 $f(x)$ について、値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。 (4) $f(x) = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) (5) $f(x) = \sqrt{x+1}$ (6) $f(x) = \log x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。

(4) $f(x) = \frac{1}{x}$ ($x > 0$)

(5) $f(x) = \sqrt{x+1}$

(6) $f(x) = \log x$

2. 解き方の手順

(4) $f(x) = \frac{1}{x}$ ($x > 0$)

- 値域：$x > 0$ のとき、$f(x) = \frac{1}{x} > 0$ であるので、値域は $y > 0$ です。

- 逆関数：$y = \frac{1}{x}$ とおきます。$x$ について解くと、$x = \frac{1}{y}$ となります。したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$ です。

(5) $f(x) = \sqrt{x+1}$

- 値域：$\sqrt{x+1}$ は $x \ge -1$ で定義され、$f(x) \ge 0$ となります。$x$ が$-1$に近づくとき$f(x)$は0に近づき、$x$が大きくなるほど$f(x)$も大きくなるので、値域は$y \ge 0$です。

- 逆関数：$y = \sqrt{x+1}$ とおきます。両辺を2乗すると、$y^2 = x+1$ となります。$x$ について解くと、$x = y^2 - 1$ となります。したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = x^2 - 1$ です。ただし、もとの関数の値域が$y \ge 0$なので、逆関数の定義域は$x \ge 0$となります。

(6) $f(x) = \log x$

- 値域：$f(x) = \log x$ は $x > 0$ で定義され、$x$ が 0 に近づくとき $f(x)$ は $-\infty$ に近づき、$x$ が大きくなるほど $f(x)$ も大きくなります。したがって、値域は全ての実数です。

- 逆関数：$y = \log x$ とおきます。指数関数に変換すると、$x = e^y$ となります。したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = e^x$ です。

3. 最終的な答え

(4)

- 値域：$y > 0$

- 逆関数：$f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$

(5)

- 値域：$y \ge 0$

- 逆関数：$f^{-1}(x) = x^2 - 1$ ($x \ge 0$)

(6)

- 値域：全ての実数

- 逆関数：$f^{-1}(x) = e^x$