## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求めます。

問題6: $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{1 - \cos x}$

問題7: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{|x|}$

##

2. 解き方の手順

**問題6:**

1. ロピタルの定理を適用できる形か確認します。$x \to 0$ のとき、$\log(1+x^2) \to \log(1) = 0$ であり、$1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理が適用できます。

2. ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} \log(1 + x^2) = \frac{2x}{1 + x^2}$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1 + x^2)\sin x}$

3. 再び $\frac{0}{0}$ の不定形になっているため、さらに整理します。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1 + x^2)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + x^2} \cdot \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}$

4. それぞれの極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + 0} = 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{1 - \cos x} = 2 \cdot 1 = 2$

**問題7:**

1. 絶対値の定義より、

$|x| = \begin{cases} x & (x > 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$

2. したがって、右からの極限と左からの極限を計算します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{-x} = - \lim_{x \to -0} \frac{\sin x}{x} = -1$

3. 右からの極限と左からの極限が一致しないため、極限は存在しません。

##

3. 最終的な答え

問題6: 2

問題7: 極限は存在しない