次の極限を求めます。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

以下に、画像にある問題4の1, 2, 3を解きます。

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

3. $\lim_{x \to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

ロピタルの定理を使用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}\log(1+x) = \frac{1}{1+x}$

$\frac{d}{dx}(e^x-1) = e^x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{e^x} = \frac{\frac{1}{1+0}}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

ロピタルの定理を使用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} = \frac{\cos 0}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x \to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

ヒントにあるように、両辺の対数をとります。

$y = (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

$\log y = \frac{1}{2x}\log(1+\sin 3x) = \frac{\log(1+\sin 3x)}{2x}$

ロピタルの定理を使用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx}\log(1+\sin 3x) = \frac{3\cos 3x}{1+\sin 3x}$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+\sin 3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3\cos 3x}{1+\sin 3x}}{2} = \frac{\frac{3\cos 0}{1+\sin 0}}{2} = \frac{\frac{3}{1}}{2} = \frac{3}{2}$

$\lim_{x \to 0} \log y = \frac{3}{2}$

よって、$\lim_{x \to 0} y = e^{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1} = 1$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x \to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{3}{2}}$