関数 $f(x) = 2^{x+1} - 1$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 (3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を、極限の計算を用いて求める。 (4) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描く（漸近線も破線で描くこと）。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2^{x+1} - 1$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線を、極限の計算を用いて求める。

(4) 元の関数 $y = f(x)$ のグラフを実線で、逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを点線で描く（漸近線も破線で描くこと）。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = f(x)$ の定義域と値域

* 定義域: 指数関数 $2^{x+1}$ はすべての実数 $x$ に対して定義されているため、定義域はすべての実数である。

したがって、定義域は $x \in \mathbb{R}$。

* 値域: $2^{x+1}$ は常に正であるため、$2^{x+1} > 0$。したがって、$2^{x+1} - 1 > -1$。

$x$ が負の方向に無限大に近づくと、$2^{x+1}$ は $0$ に近づくため、$2^{x+1}-1$ は $-1$ に近づく。

したがって、値域は $y > -1$。

(2) 関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$

$y = 2^{x+1} - 1$ とおく。逆関数を求めるために、$x$ について解く。

$y + 1 = 2^{x+1}$

$\log_2(y + 1) = x + 1$

$x = \log_2(y + 1) - 1$

したがって、逆関数は $f^{-1}(x) = \log_2(x + 1) - 1$。

(3) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ の漸近線

逆関数 $y = \log_2(x + 1) - 1$ の漸近線を求める。

真数条件より、$x + 1 > 0$、つまり $x > -1$。

$x$ が $-1$ に近づくと、$\log_2(x + 1)$ は負の方向に無限大に近づく。

$\lim_{x \to -1+0} \log_2(x+1) = -\infty$

したがって、漸近線は $x = -1$ である。

(4) グラフ

$y = f(x)$ のグラフは、$y = 2^{x+1} - 1$。これは、$y = 2^x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$、 $y$ 軸方向に $-1$ 平行移動したものである。

$y = f^{-1}(x)$ のグラフは、$y = \log_2(x + 1) - 1$。これは、$y = \log_2 x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$、$y$ 軸方向に $-1$ 平行移動したものである。

これらのグラフは、$y = x$ に関して対称である。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: $x \in \mathbb{R}$、値域: $y > -1$

(2) $f^{-1}(x) = \log_2(x + 1) - 1$

(3) 漸近線: $x = -1$

(4) グラフ：$y=2^{x+1}-1$を実線で、$y = \log_2(x+1)-1$を点線で描き、$x=-1$を破線で描く。(グラフは省略)