$x$-$y$ 平面上の 2 次元スカラー場 $z = x^2$ の勾配（grad）$\nabla z$ を計算し、その結果得られる 2 次元ベクトル場を図示する。

1. 問題の内容

$x$-$y$ 平面上の 2 次元スカラー場 $z = x^2$ の勾配（grad）$\nabla z$ を計算し、その結果得られる 2 次元ベクトル場を図示する。

2. 解き方の手順

まず、スカラー場 $z = x^2$ の勾配 $\nabla z$ を計算します。勾配は各方向への偏微分のベクトルで表されます。2 次元なので、

$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$

となります。

$z = x^2$ を $x$ で偏微分すると、

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$z = x^2$ を $y$ で偏微分すると、

$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$

したがって、勾配 $\nabla z$ は、

$\nabla z = (2x, 0)$

となります。

次に、このベクトル場を図示します。ベクトル場は、各点 $(x, y)$ におけるベクトル $(2x, 0)$ を矢印で表したものです。

* $x > 0$ の領域では、ベクトルは $(2x, 0)$ であり、$x$ 軸の正の方向に伸びています。$x$ が大きくなるほどベクトルの長さも長くなります。

* $x < 0$ の領域では、ベクトルは $(2x, 0)$ であり、$x$ 軸の負の方向に伸びています。$x$ の絶対値が大きくなるほどベクトルの長さも長くなります。

* $x = 0$ の線上では、ベクトルは $(0, 0)$ であり、ゼロベクトルとなります。

* $y$ の値に関わらず、ベクトルの $y$ 成分は常に $0$ です。

3. 最終的な答え

勾配は $\nabla z = (2x, 0)$ です。ベクトル場の図示は、上記の性質に基づいて行うことになります。