問題は次の2つの式を満たす $x$ の値を求めることです。 (1) $x = \arccos(\cos(-\frac{5}{6}\pi))$ (2) $\arcsin x = \arccos \frac{5}{7}$

1. 問題の内容

問題は次の2つの式を満たす $x$ の値を求めることです。

(1) $x = \arccos(\cos(-\frac{5}{6}\pi))$

(2) $\arcsin x = \arccos \frac{5}{7}$

2. 解き方の手順

(1) $\arccos$ の範囲は $[0, \pi]$ です。

$\cos(-\frac{5}{6}\pi) = \cos(\frac{5}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5}{6}\pi$

(2) $\arcsin x = \arccos \frac{5}{7}$ より、

$\sin(\arcsin x) = \sin(\arccos \frac{5}{7})$

$x = \sin(\arccos \frac{5}{7})$

ここで、$\theta = \arccos \frac{5}{7}$ とすると、$\cos \theta = \frac{5}{7}$ かつ $0 \le \theta \le \pi$。

このとき、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

よって、$x = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{5}{6}\pi$

(2) $x = \frac{2\sqrt{6}}{7}$