曲線 $C: y^2 = x^3 - 36x$ について、以下の問いに答えます。 (1) C上の点 $(-2, 8)$ における接線 $l$ の方程式を求め、さらに $l$ と $C$ の交点の座標を求めます。 (2) Cの概形を描きます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y^2 = x^3 - 36x$ について、以下の問いに答えます。

(1) C上の点 $(-2, 8)$ における接線 $l$ の方程式を求め、さらに $l$ と $C$ の交点の座標を求めます。

(2) Cの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求めるには、まず曲線の微分を計算します。次に、点 $(-2, 8)$ における接線の傾きを求めます。最後に、点と傾きを使って接線の方程式を求めます。接線と曲線の交点を求めるには、接線の方程式と曲線の方程式を連立させて解きます。

$y^2 = x^3 - 36x$ を $x$ で微分すると、

$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 36$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 36}{2y}$

点 $(-2, 8)$ における接線の傾き $m$ は、

$m = \frac{3(-2)^2 - 36}{2(8)} = \frac{12 - 36}{16} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$

接線 $l$ の方程式は、点 $(-2, 8)$ を通り傾きが $-\frac{3}{2}$ なので、

$y - 8 = -\frac{3}{2}(x + 2)$

$y = -\frac{3}{2}x - 3 + 8$

$y = -\frac{3}{2}x + 5$

接線 $l$ と曲線 $C$ の交点を求めるには、次の方程式を解きます。

$(-\frac{3}{2}x + 5)^2 = x^3 - 36x$

$\frac{9}{4}x^2 - 15x + 25 = x^3 - 36x$

$x^3 - \frac{9}{4}x^2 - 21x - 25 = 0$

$4x^3 - 9x^2 - 84x - 100 = 0$

$x = -2$ が解であることはわかっているので、$4x^3 - 9x^2 - 84x - 100$ は $(x+2)$ を因数に持つはずです。実際に割り算を実行すると、

$4x^3 - 9x^2 - 84x - 100 = (x+2)(4x^2 - 17x - 50) = 0$

$4x^2 - 17x - 50 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4(4)(-50)}}{2(4)} = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 800}}{8} = \frac{17 \pm \sqrt{1089}}{8} = \frac{17 \pm 33}{8}$

$x = \frac{17+33}{8} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$, $x = \frac{17-33}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

$x = \frac{25}{4}$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(\frac{25}{4}) + 5 = -\frac{75}{8} + \frac{40}{8} = -\frac{35}{8}$

したがって、交点の座標は $(\frac{25}{4}, -\frac{35}{8})$.

(2) $y^2 = x^3 - 36x = x(x^2 - 36) = x(x-6)(x+6)$.

$y=0$ とすると、$x=0, 6, -6$ なので、$x$軸との交点は $(-6,0)$, $(0,0)$, $(6,0)$.

$x<-6$のとき、$x(x-6)(x+6)<0$。

$-6<x<0$のとき、$x(x-6)(x+6)>0$。

$0<x<6$のとき、$x(x-6)(x+6)<0$。

$x>6$のとき、$x(x-6)(x+6)>0$。

3. 最終的な答え

(1) 接線 $l$ の方程式は $y = -\frac{3}{2}x + 5$。交点の座標は $(-2, 8)$ と $(\frac{25}{4}, -\frac{35}{8})$。

(2) Cの概形：x軸との交点は $(-6,0)$, $(0,0)$, $(6,0)$. $-6<x<0$ および $x>6$ でグラフが存在。