与えられた3つの関数のマクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $f(x) = \log\frac{1-x}{1+x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数のマクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $f(x) = \log\frac{1-x}{1+x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$ の場合

まず、部分分数分解を行います。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、

$\frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$ を代入すると、 $1 = A(1-2) + B(0) \implies A = -1$

$x = 2$ を代入すると、 $1 = A(0) + B(2-1) \implies B = 1$

よって、

$\frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ , $\frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n$

したがって、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}})x^n$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ の場合

$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{x+2-2}{(x+2)^2} = \frac{x+2}{(x+2)^2} - \frac{2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^2}$

$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2}\frac{1}{1-(-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{(x+2)^2} = -\frac{d}{dx}(\frac{1}{x+2}) = -\frac{d}{dx}(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n x^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+2}}$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} - 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(1-(n+1))}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(-n)}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $f(x) = \log\frac{1-x}{1+x}$ の場合

$f(x) = \log(1-x) - \log(1+x)$

$\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$

$f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n + (-1)^{n-1}x^n}{n}$

$n$が偶数の時、$n=2k$とすると、$x^n + (-1)^{n-1}x^n = x^{2k} - x^{2k} = 0$

$n$が奇数の時、$n=2k+1$とすると、$x^n + (-1)^{n-1}x^n = x^{2k+1} + x^{2k+1} = 2x^{2k+1}$

したがって、

$f(x) = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k+1}}{2k+1} = -2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}})x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $-2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$