問題34は、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ を計算し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

問題34は、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ を計算し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を利用できます。

ステップ1: ロピタルの定理を一度適用する。分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (\cos x - 1) = -\sin x$

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x}$

ステップ2: この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、再度ロピタルの定理を適用する。

$\frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x$

$\frac{d}{dx} (2x) = 2$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2}$

ステップ3: $x \to 0$ での極限を計算する。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-\cos 0}{2} = \frac{-1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$