次の極限値を求めよ。 $\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使って極限を計算する。

$x \to 0$ のとき $\cos x - 1 \to 0$ かつ $x^2 \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ である。

したがって、ロピタルの定理を適用できる。

まず、分子と分母をそれぞれ微分する。

$\frac{d}{dx} (\cos x - 1) = -\sin x$

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{2x}$

$x \to 0$ のとき $-\sin x \to 0$ かつ $2x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ である。

もう一度ロピタルの定理を適用する。

$\frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x$

$\frac{d}{dx} (2x) = 2$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2}$

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$