関数 $f(x) = 10x + 5\sqrt{4x - x^2}$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 10x + 5\sqrt{4x - x^2}$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 10 + 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x-x^2}} \cdot (4 - 2x) = 10 + \frac{5(2-x)}{\sqrt{4x-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$10 + \frac{5(2-x)}{\sqrt{4x-x^2}} = 0$

$\frac{5(2-x)}{\sqrt{4x-x^2}} = -10$

$5(2-x) = -10\sqrt{4x-x^2}$

$2-x = -2\sqrt{4x-x^2}$

両辺を2乗すると、

$(2-x)^2 = 4(4x-x^2)$

$4 - 4x + x^2 = 16x - 4x^2$

$5x^2 - 20x + 4 = 0$

解の公式を用いて、$x$ を求めます。

$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80}}{10} = \frac{20 \pm \sqrt{320}}{10} = \frac{20 \pm 8\sqrt{5}}{10} = 2 \pm \frac{4\sqrt{5}}{5}$

$2 - \frac{4\sqrt{5}}{5} < 0$ であるため、$x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$ が解の候補となります。

$x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$ は $0 \le x \le 4$ の範囲に含まれます。

$x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$のとき、$2-x = -2\sqrt{4x-x^2}$を満たすか確認します。

$x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$より、$2-x = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$

$-2\sqrt{4x-x^2}$に$x$を代入すると

$4x - x^2 = 4(2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}) - (2 + \frac{4\sqrt{5}}{5})^2 = 8 + \frac{16\sqrt{5}}{5} - (4 + \frac{16\sqrt{5}}{5} + \frac{16 \cdot 5}{25}) = 4 - \frac{16}{5} = \frac{4}{5}$

$-2\sqrt{\frac{4}{5}} = -2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$

したがって、$2-x = -2\sqrt{4x-x^2}$を満たします。

$x = 0, x = 4, x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = 10(0) + 5\sqrt{4(0) - 0^2} = 0$

$f(4) = 10(4) + 5\sqrt{4(4) - 4^2} = 40$

$x = 2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}$のとき、$4x - x^2 = \frac{4}{5}$なので、

$f(2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}) = 10(2 + \frac{4\sqrt{5}}{5}) + 5\sqrt{\frac{4}{5}} = 20 + 8\sqrt{5} + 5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = 20 + 8\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 20 + 10\sqrt{5} = 10(2 + \sqrt{5})$

$40$ と $20 + 10\sqrt{5}$ を比較します。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$20 + 10\sqrt{5} \approx 20 + 10(2.236) = 20 + 22.36 = 42.36 > 40$

したがって、最大値は $20 + 10\sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

$20 + 10\sqrt{5}$