次の極限を求め、正しい選択肢を選ぶ問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求め、正しい選択肢を選ぶ問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^{x}}$

2. 解き方の手順

まず、極限をそのまま代入してみます。

$x = 0$ を代入すると、$\frac{0}{e^0 - e^0} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。

したがって、ロピタルの定理を使うことができます。

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

が成り立つというものです。

この問題では、$f(x) = x$、$g(x) = e^{-x} - e^{x}$ とおきます。

$f'(x) = 1$

$g'(x) = -e^{-x} - e^{x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{-x} - e^{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-e^{-x} - e^{x}}$

となります。

$x = 0$ を代入すると、

$\frac{1}{-e^0 - e^0} = \frac{1}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$