$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を使います。

$x \to 0$ のとき、$\cos x - 1 \to 0$ かつ $x^2 \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{2x}$

となります。

$x \to 0$ のとき、$-\sin x \to 0$ かつ $2x \to 0$ なので、再び $\frac{0}{0}$ の不定形です。

もう一度ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2}$

となります。

$x \to 0$ のとき、$-\cos x \to -1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-1}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$