与えられた関数を、積の微分公式を用いて微分する問題です。関数は (1) から (4) までの4つあります。 (1) $y = (4x+3)(5x-2)$ (2) $y = (x^3+1)(x^2+x+1)$ (3) $y = (\frac{1}{x}-2)(x+\frac{3}{x})$ (4) $y = (\sqrt{x}^3-1)(\frac{1}{\sqrt{x}}+2)$

1. 問題の内容

与えられた関数を、積の微分公式を用いて微分する問題です。関数は (1) から (4) までの4つあります。

(1) $y = (4x+3)(5x-2)$

(2) $y = (x^3+1)(x^2+x+1)$

(3) $y = (\frac{1}{x}-2)(x+\frac{3}{x})$

(4) $y = (\sqrt{x}^3-1)(\frac{1}{\sqrt{x}}+2)$

2. 解き方の手順

積の微分公式: $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

(1) $y = (4x+3)(5x-2)$

$u = 4x+3$, $v = 5x-2$ とおくと, $u' = 4$, $v' = 5$。

よって,

$y' = (4)(5x-2) + (4x+3)(5)$

$y' = 20x - 8 + 20x + 15$

$y' = 40x + 7$

(2) $y = (x^3+1)(x^2+x+1)$

$u = x^3+1$, $v = x^2+x+1$ とおくと, $u' = 3x^2$, $v' = 2x+1$。

よって,

$y' = (3x^2)(x^2+x+1) + (x^3+1)(2x+1)$

$y' = 3x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1$

$y' = 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

(3) $y = (\frac{1}{x}-2)(x+\frac{3}{x})$

$u = \frac{1}{x}-2 = x^{-1}-2$, $v = x+\frac{3}{x} = x+3x^{-1}$ とおくと,

$u' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$, $v' = 1 - 3x^{-2} = 1-\frac{3}{x^2}$。

よって,

$y' = (-\frac{1}{x^2})(x+\frac{3}{x}) + (\frac{1}{x}-2)(1-\frac{3}{x^2})$

$y' = -\frac{1}{x} - \frac{3}{x^3} + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^3} - 2 + \frac{6}{x^2}$

$y' = - \frac{6}{x^3} + \frac{6}{x^2} - 2$

(4) $y = (\sqrt{x}^3-1)(\frac{1}{\sqrt{x}}+2)$

$y = (x^{\frac{3}{2}}-1)(x^{-\frac{1}{2}}+2)$

$u = x^{\frac{3}{2}}-1$, $v = x^{-\frac{1}{2}}+2$ とおくと,

$u' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$, $v' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$。

よって,

$y' = (\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}})(x^{-\frac{1}{2}}+2) + (x^{\frac{3}{2}}-1)(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})$

$y' = \frac{3}{2} + 3x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$y' = 1 + 3\sqrt{x} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 40x + 7$

(2) $y' = 5x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

(3) $y' = - \frac{6}{x^3} + \frac{6}{x^2} - 2$

(4) $y' = 1 + 3\sqrt{x} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$