関数 $y = f(x)$ において、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ のとき、$x$ の区間 1 から 2 までの定積分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x)$ において、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ のとき、$x$ の区間 1 から 2 までの定積分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ を $x^{-2}$ と書き換えます。

次に、$x^{-2}$ の不定積分を求めます。

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

となります。

したがって、$x^{-2}$ の不定積分は $-\frac{1}{x} + C$ です。

次に、定積分 $\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx$ を計算します。

定積分の基本定理より、

$$\int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$