$$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$$

## 問題36の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ の被積分関数 $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解した結果として正しい選択肢を選びます。

## 解き方の手順

1. $\frac{1}{(x-2)(x-5)}$ を部分分数分解します。つまり、以下の形に分解します。

$$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-5}$$

2. 両辺に $(x-2)(x-5)$ を掛けます。

$$1 = A(x-5) + B(x-2)$$

3. $x$ についての恒等式として $A$ と $B$ を求めます。

* $x = 2$ のとき: $1 = A(2-5) + B(2-2) \Rightarrow 1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}$

* $x = 5$ のとき: $1 = A(5-5) + B(5-2) \Rightarrow 1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}$

4. したがって、

$$\frac{1}{(x-2)(x-5)} = -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)} = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5} \right)$$

## 最終的な答え

$\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-5} \right)$

## 問題37の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx$ を計算し、その結果として正しい選択肢を選びます。

## 解き方の手順

1. 問題36で求めた部分分数分解の結果を利用します。

$$\int \frac{1}{(x-2)(x-5)} dx = \int \left( -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)} \right) dx$$

2. 積分を計算します。

$$\int \left( -\frac{1}{3(x-2)} + \frac{1}{3(x-5)} \right) dx = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-5} dx$$

$$= -\frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{3} \ln|x-5| + C$$

3. 対数の性質を利用してまとめます。

$$-\frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{3} \ln|x-5| + C = \frac{1}{3} (\ln|x-5| - \ln|x-2|) + C = \frac{1}{3} \ln\left| \frac{x-5}{x-2} \right| + C$$

## 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln\left| \frac{x-5}{x-2} \right|$