次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x}$

2. 解き方の手順

$x \to \infty$のときの極限を求めるため、分子と分母を $5^x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3 \cdot 5^x + 3^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5^x(2 - (2/5)^x)}{5^x(3 + (3/5)^x)}$

$5^x$を約分して

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 - (2/5)^x}{3 + (3/5)^x}$

$x \to \infty$ のとき、$(2/5)^x \to 0$ および $(3/5)^x \to 0$ なので、

$= \frac{2 - 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$