不定積分 $\int \sqrt[3]{2x+5} dx$ を計算し、解答欄A, B, Cに当てはまる数字を答える問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt[3]{2x+5} dx$ を計算し、解答欄A, B, Cに当てはまる数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{2x+5}$ を $(2x+5)^{\frac{1}{3}}$ と書き換えます。

したがって、求める不定積分は $\int (2x+5)^{\frac{1}{3}} dx$ となります。

置換積分を行います。$u = 2x+5$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

よって、

$\int (2x+5)^{\frac{1}{3}} dx = \int u^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du$

$\int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

$u = 2x+5$ を代入すると、

$\frac{3}{8} (2x+5)^{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$ であるので、$(2x+5)^{\frac{4}{3}} = (2x+5)^{1 + \frac{1}{3}} = (2x+5) (2x+5)^{\frac{1}{3}} = (2x+5) \sqrt[3]{2x+5}$

よって、$\frac{3}{8}(2x+5)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8}(2x+5)\sqrt[3]{2x+5} + C$

求める不定積分は $\frac{3}{8} (2x+5)^{\frac{4}{3}} + C$ となります。

$\frac{3}{8} (2x+5)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8} (2x+5)^{\frac{4}{3}} + C$ と $\frac{A}{B} (2x+5)^{\frac{C}{3}} + C$ を比較すると、

$A = 3, B = 8, C = 4$ となります。

$\frac{A}{B} (2x+5) \sqrt[3]{2x+5} + C$の形にすると、

$A = 3, B = 8$となります。

3. 最終的な答え

A = 3

B = 8

C = 4