不定積分 $\int \frac{x-2}{x+1} dx$ を求め、与えられた形式に合うように空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x-2}{x+1} dx$ を求め、与えられた形式に合うように空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{x-2}{x+1} = \frac{x+1-3}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{3}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int (1 - \frac{3}{x+1}) dx$

積分を計算します。

$\int (1 - \frac{3}{x+1}) dx = \int 1 dx - \int \frac{3}{x+1} dx = x - 3\int \frac{1}{x+1} dx = x - 3 \log|x+1| + C$

したがって、

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = x - 3 \log|x+1| + C$

与えられた形式と比較すると、

$\int \frac{x-2}{x+1} dx = \int \frac{x+A-B}{x+1} dx = \int (C - \frac{B}{x+1}) dx = D - E \log|x+F| + C$

$x-2 = x+A-B$ より $A-B = -2$

$1 - \frac{3}{x+1} = C - \frac{B}{x+1}$ より $C = 1$ and $B = 3$

$A - 3 = -2$ より $A = 1$

$x - 3 \log|x+1| + C = D - E \log|x+F| + C$ より $D=x$, $E = 3$, $F = 1$

したがって、$A = 1$, $B = 3$, $C = 1$, $D = x$, $E = 3$, $F = 1$

3. 最終的な答え

A: 1

B: 3

C: 1

D: x

E: 3

F: 1