次の極限を求めよ： $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - e^{-x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ：

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - e^{-x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限に$x=0$を代入してみると、分子は0、分母は$e^0 - e^{-0} = 1 - 1 = 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形であることがわかります。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$が$\frac{0}{0}$または$\frac{\infty}{\infty}$の不定形であるとき、もし$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在すれば、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

が成り立つというものです。

今回の問題では、$f(x) = x$、$g(x) = e^x - e^{-x}$なので、それぞれの導関数を求めます。

$f'(x) = 1$

$g'(x) = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

したがって、ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x + e^{-x}}$

ここで、$x = 0$を代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$